Доверительные интервалы представляют диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит истинный параметр генеральной совокупности. Они широко используются в статистике для оценки точности измерений и результатов исследований.

Содержание

Доверительные интервалы представляют диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит истинный параметр генеральной совокупности. Они широко используются в статистике для оценки точности измерений и результатов исследований.

Основные понятия доверительных интервалов

  • Доверительный уровень (обычно 90%, 95% или 99%)
  • Точечная оценка параметра
  • Стандартная ошибка
  • Критическое значение распределения

Формула доверительного интервала для среднего

Для нормально распределенной совокупности при известном σ:

ДИ =X̄ ± Zα/2 × (σ/√n)
Где:X̄ - выборочное среднее, Z - критическое значение, σ - стандартное отклонение, n - объем выборки

Пошаговый алгоритм построения

1. Определение параметров

  1. Выберите доверительный уровень (1-α)
  2. Рассчитайте выборочную статистику (среднее, пропорцию)
  3. Определите стандартную ошибку оценки

2. Выбор соответствующего распределения

УсловияИспользуемое распределение
Известно σ, n > 30Нормальное (Z-распределение)
Неизвестно σ, n < 30t-распределение Стьюдента
Доли и пропорцииНормальное приближение

Пример расчета для среднего

При следующих условиях:

  • Выборочное среднее (X̄) = 50
  • Стандартное отклонение (σ) = 10
  • Объем выборки (n) = 100
  • Доверительный уровень = 95%

3. Расчет интервала

  1. Найдите критическое значение Z для 95% (1.96)
  2. Рассчитайте стандартную ошибку: σ/√n = 10/10 = 1
  3. Вычислите предельную ошибку: 1.96 × 1 = 1.96
  4. Постройте интервал: 50 ± 1.96 → [48.04, 51.96]

Особые случаи

Доверительный интервал для пропорции

Формула:

ДИp =p̂ ± Zα/2 × √(p̂(1-p̂)/n
Где:p̂ - выборочная пропорция

Практические рекомендации

  • Для малых выборок используйте поправки (например, Уилсона)
  • При работе с t-распределением учитывайте степени свободы
  • Проверяйте условия применимости формул
  • Используйте статистические пакеты для сложных случаев

Другие статьи

Как собрать люстру с пультом управления и прочее